与えられた4つの式を因数分解する問題です。3次式の因数分解の公式を利用します。 (1) $x^3 + 8$ (2) $27x^3 - 1$ (3) $2x^3 - 128y^3$ (4) $\frac{x^3}{27} + 1$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。3次式の因数分解の公式を利用します。

(1) $x^3 + 8$

(2) $27x^3 - 1$

(3) $2x^3 - 128y^3$

(4) $\frac{x^3}{27} + 1$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 8$ は、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$

(2) $27x^3 - 1$ は、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用します。

$27x^3 - 1 = (3x)^3 - 1^3 = (3x-1)((3x)^2 + 3x + 1) = (3x-1)(9x^2 + 3x + 1)$

(3) $2x^3 - 128y^3$ は、まず2で括り出します。

$2x^3 - 128y^3 = 2(x^3 - 64y^3)$

$x^3 - 64y^3 = x^3 - (4y)^3$ となります。

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用します。

$2(x^3 - (4y)^3) = 2(x-4y)(x^2 + 4xy + 16y^2)$

(4) $\frac{x^3}{27} + 1$ は、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$\frac{x^3}{27} + 1 = (\frac{x}{3})^3 + 1^3 = (\frac{x}{3} + 1)((\frac{x}{3})^2 - \frac{x}{3} + 1) = (\frac{x}{3} + 1)(\frac{x^2}{9} - \frac{x}{3} + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+2)(x^2 - 2x + 4)$

(2) $(3x-1)(9x^2 + 3x + 1)$

(3) $2(x-4y)(x^2 + 4xy + 16y^2)$

(4) $(\frac{x}{3} + 1)(\frac{x^2}{9} - \frac{x}{3} + 1)$