与えられた式 $x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (-y-1)x - (2y^2 + 7y + 6)$

次に、$y$ の部分を因数分解します。

$2y^2 + 7y + 6 = (2y+3)(y+2)$

したがって、

$x^2 + (-y-1)x - (2y+3)(y+2)$

ここで、因数分解の公式 $x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)$ を利用することを考えます。

この場合、 $a+b = -y-1$ であり、$ab = -(2y+3)(y+2)$ です。

$a = (y+2)$ 、 $b = -(2y+3)$ とすると、

$a+b = (y+2) + (-(2y+3)) = y+2 - 2y - 3 = -y - 1$

$ab = (y+2)(-(2y+3)) = -(y+2)(2y+3)$

となるので、

$x^2 + (-y-1)x - (2y+3)(y+2) = (x + (y+2))(x + (-(2y+3))) = (x + y + 2)(x - 2y - 3)$

と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + y + 2)(x - 2y - 3)$