与えられた3つの方程式の自然数解をすべて求める。自然数とは、正の整数（1, 2, 3, ...）のことである。 (1) $x + 3y + 5z = 15$ (2) $2x + 7y + 3z = 26$ (3) $4x + 3y + 3z = 18$

1. 問題の内容

与えられた3つの方程式の自然数解をすべて求める。自然数とは、正の整数（1, 2, 3, ...）のことである。

(1) $x + 3y + 5z = 15$

(2) $2x + 7y + 3z = 26$

(3) $4x + 3y + 3z = 18$

2. 解き方の手順

(1) $x + 3y + 5z = 15$ の解を求める。

$x = 15 - 3y - 5z$

$x, y, z$ は自然数なので、$x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1$ を満たす必要がある。

$y, z$ に小さい値から代入して、$x \geq 1$ となるかどうかを調べる。

$z = 1$ のとき、$x = 15 - 3y - 5 = 10 - 3y$

$y = 1$ のとき、$x = 10 - 3 = 7$

$y = 2$ のとき、$x = 10 - 6 = 4$

$y = 3$ のとき、$x = 10 - 9 = 1$

$z = 2$ のとき、$x = 15 - 3y - 10 = 5 - 3y$

$y = 1$ のとき、$x = 5 - 3 = 2$

したがって、(1)の解は、$(x, y, z) = (7, 1, 1), (4, 2, 1), (1, 3, 1), (2, 1, 2)$

(2) $2x + 7y + 3z = 26$ の解を求める。

$2x = 26 - 7y - 3z$

$x = \frac{26 - 7y - 3z}{2}$

$x, y, z$ は自然数なので、$x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1$ を満たす必要がある。

$y, z$ に小さい値から代入して、$x \geq 1$ となるかどうかを調べる。また，$x$ は整数である必要がある。

$y = 1$ のとき、$2x = 26 - 7 - 3z = 19 - 3z$

$z = 1$ のとき、$2x = 19 - 3 = 16$, $x = 8$

$z = 3$ のとき、$2x = 19 - 9 = 10$, $x = 5$

$z = 5$ のとき、$2x = 19 - 15 = 4$, $x = 2$

$y = 2$ のとき、$2x = 26 - 14 - 3z = 12 - 3z$

$z = 2$ のとき、$2x = 12 - 6 = 6$, $x = 3$

したがって、(2)の解は、$(x, y, z) = (8, 1, 1), (5, 1, 3), (2, 1, 5), (3, 2, 2)$

(3) $4x + 3y + 3z = 18$ の解を求める。

$4x = 18 - 3y - 3z$

$4x = 3(6 - y - z)$

$x = \frac{3(6 - y - z)}{4}$

$x, y, z$ は自然数なので、$x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1$ を満たす必要がある。

また、$x$ は整数である必要がある。したがって、$6 - y - z$ は4の倍数である必要がある。

$y + z = 2$ のとき、$6 - y - z = 4$, $4x = 3 \times 4 = 12$, $x = 3$

$y = 1, z = 1$ のとき、$(x, y, z) = (3, 1, 1)$

$y + z = 6$ のとき、$6 - y - z = 0$, $x = 0$, これは自然数解ではない。

したがって、(3)の解は、$(x, y, z) = (3, 1, 1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x, y, z) = (7, 1, 1), (4, 2, 1), (1, 3, 1), (2, 1, 2)$

(2) $(x, y, z) = (8, 1, 1), (5, 1, 3), (2, 1, 5), (3, 2, 2)$

(3) $(x, y, z) = (3, 1, 1)$