与えられた6つの不定方程式の整数解をすべて求める。

1. 問題の内容

与えられた6つの不定方程式の整数解をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) $2x + 5y = 1$

まず、$2x + 5y = 1$ の特殊解を一つ見つける。例えば、$x = 3, y = -1$ はこの方程式を満たす。

したがって、$2(3) + 5(-1) = 1$ である。

$2x + 5y = 1$ と $2(3) + 5(-1) = 1$ の差をとると、

$2(x - 3) + 5(y + 1) = 0$

$2(x - 3) = -5(y + 1)$

2と5は互いに素なので、$x - 3$ は5の倍数でなければならない。したがって、$x - 3 = 5k$ (kは整数) とおける。

$x = 5k + 3$

これを代入すると、$2(5k) = -5(y + 1)$

$2k = -(y + 1)$

$y = -2k - 1$

よって、整数解は $(x, y) = (5k + 3, -2k - 1)$ (kは整数)

(2) $7x - 2y = 1$

特殊解の一つは、$x = 1, y = 3$。つまり、$7(1) - 2(3) = 1$。

$7x - 2y = 1$ と $7(1) - 2(3) = 1$ の差をとると、

$7(x - 1) - 2(y - 3) = 0$

$7(x - 1) = 2(y - 3)$

7と2は互いに素なので、$x - 1$ は2の倍数でなければならない。

$x - 1 = 2k$ (kは整数) とおける。

$x = 2k + 1$

これを代入すると、$7(2k) = 2(y - 3)$

$7k = y - 3$

$y = 7k + 3$

よって、整数解は $(x, y) = (2k + 1, 7k + 3)$ (kは整数)

(3) $11x + 8y = 4$

特殊解の一つは、$x = 4, y = -5$。つまり、$11(4) + 8(-5) = 4$。

$11x + 8y = 4$ と $11(4) + 8(-5) = 4$ の差をとると、

$11(x - 4) + 8(y + 5) = 0$

$11(x - 4) = -8(y + 5)$

11と8は互いに素なので、$x - 4$ は8の倍数でなければならない。

$x - 4 = 8k$ (kは整数) とおける。

$x = 8k + 4$

これを代入すると、$11(8k) = -8(y + 5)$

$11k = -(y + 5)$

$y = -11k - 5$

よって、整数解は $(x, y) = (8k + 4, -11k - 5)$ (kは整数)

(4) $4x + 9y = -1$

特殊解の一つは、$x = 2, y = -1$。つまり、$4(2) + 9(-1) = -1$。

$4x + 9y = -1$ と $4(2) + 9(-1) = -1$ の差をとると、

$4(x - 2) + 9(y + 1) = 0$

$4(x - 2) = -9(y + 1)$

4と9は互いに素なので、$x - 2$ は9の倍数でなければならない。

$x - 2 = 9k$ (kは整数) とおける。

$x = 9k + 2$

これを代入すると、$4(9k) = -9(y + 1)$

$4k = -(y + 1)$

$y = -4k - 1$

よって、整数解は $(x, y) = (9k + 2, -4k - 1)$ (kは整数)

(5) $13x - 9y = -5$

特殊解の一つは、$x = -2, y = -3$。つまり、$13(-2) - 9(-3) = -26 + 27 = 1$。$-5$にするため、$x=-10$, $y=-15$とすると、$13(-10)-9(-15) = -130 + 135 = 5$。よって$x = 10$, $y = 15$とすると、$13(10) - 9(15) = 130 - 135 = -5$。

$13x - 9y = -5$ と $13(10) - 9(15) = -5$ の差をとると、

$13(x - 10) - 9(y - 15) = 0$

$13(x - 10) = 9(y - 15)$

13と9は互いに素なので、$x - 10$ は9の倍数でなければならない。

$x - 10 = 9k$ (kは整数) とおける。

$x = 9k + 10$

これを代入すると、$13(9k) = 9(y - 15)$

$13k = y - 15$

$y = 13k + 15$

よって、整数解は $(x, y) = (9k + 10, 13k + 15)$ (kは整数)

(6) $3x - 2y = 6$

特殊解の一つは、$x = 2, y = -0$。つまり、$3(2) - 2(0) = 6$。

$3x - 2y = 6$ と $3(2) - 2(0) = 6$ の差をとると、

$3(x - 2) - 2(y - 0) = 0$

$3(x - 2) = 2y$

3と2は互いに素なので、$x - 2$ は2の倍数でなければならない。

$x - 2 = 2k$ (kは整数) とおける。

$x = 2k + 2$

これを代入すると、$3(2k) = 2y$

$3k = y$

よって、整数解は $(x, y) = (2k + 2, 3k)$ (kは整数)

3. 最終的な答え

(1) $(x, y) = (5k + 3, -2k - 1)$ (kは整数)

(2) $(x, y) = (2k + 1, 7k + 3)$ (kは整数)

(3) $(x, y) = (8k + 4, -11k - 5)$ (kは整数)

(4) $(x, y) = (9k + 2, -4k - 1)$ (kは整数)

(5) $(x, y) = (9k + 10, 13k + 15)$ (kは整数)

(6) $(x, y) = (2k + 2, 3k)$ (kは整数)