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与えられた連立方程式を解いて、$p$ と $q$ の値を求めます。 連立方程式は以下の通りです。 (1) $(3+2\sqrt{3})p - (2-\sqrt{3})q + 1 - 4\sqrt{3} = 0$ (2) $\frac{p}{\sqrt{3}-1} + \frac{q}{\sqrt{3}} = 1$

代数学連立方程式有理化式の計算
2025/5/15

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解いて、pp と qq の値を求めます。
連立方程式は以下の通りです。
(1) (3+23)p−(2−3)q+1−43=0(3+2\sqrt{3})p - (2-\sqrt{3})q + 1 - 4\sqrt{3} = 0
(2) p3−1+q3=1\frac{p}{\sqrt{3}-1} + \frac{q}{\sqrt{3}} = 1

2. 解き方の手順

まず、(1)式と(2)式を整理します。
(2)式を整理するために、各分数の分母を有理化します。
p3−1=p(3+1)(3−1)(3+1)=p(3+1)3−1=(3+1)p2\frac{p}{\sqrt{3}-1} = \frac{p(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{p(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)p}{2}
したがって、(2)式は次のようになります。
(3+1)p2+q3=1\frac{(\sqrt{3}+1)p}{2} + \frac{q}{\sqrt{3}} = 1
両辺に 232\sqrt{3} を掛けて分母を払います。
3(3+1)p+2q=23\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)p + 2q = 2\sqrt{3}
(3+3)p+2q=23(3+\sqrt{3})p + 2q = 2\sqrt{3}
(1)式を整理します。
(3+23)p−(2−3)q=43−1(3+2\sqrt{3})p - (2-\sqrt{3})q = 4\sqrt{3} - 1
整理した連立方程式は以下のようになります。
(1') (3+23)p−(2−3)q=43−1(3+2\sqrt{3})p - (2-\sqrt{3})q = 4\sqrt{3} - 1
(2') (3+3)p+2q=23(3+\sqrt{3})p + 2q = 2\sqrt{3}
(2')式を 2−32-\sqrt{3} 倍します。
(2−3)((3+3)p+2q)=(2−3)(23)(2-\sqrt{3})((3+\sqrt{3})p + 2q) = (2-\sqrt{3})(2\sqrt{3})
(6+23−33−3)p+(4−23)q=43−6(6+2\sqrt{3}-3\sqrt{3}-3)p + (4-2\sqrt{3})q = 4\sqrt{3}-6
(3−3)p+(4−23)q=43−6(3-\sqrt{3})p + (4-2\sqrt{3})q = 4\sqrt{3}-6
(1')式と上記の式を足し合わせます。
(3+23+3−3)p+(−2+3+4−23)q=43−1+43−6(3+2\sqrt{3}+3-\sqrt{3})p + (-2+\sqrt{3}+4-2\sqrt{3})q = 4\sqrt{3}-1+4\sqrt{3}-6
(6+3)p+(2−3)q=83−7(6+\sqrt{3})p + (2-\sqrt{3})q = 8\sqrt{3}-7
しかし、この解法ではうまくいきません。別の解法を試します。
(2')式から、qqについて解きます。
2q=23−(3+3)p2q = 2\sqrt{3} - (3+\sqrt{3})p
q=3−3+32pq = \sqrt{3} - \frac{3+\sqrt{3}}{2}p
これを(1')式に代入します。
(3+23)p−(2−3)(3−3+32p)=43−1(3+2\sqrt{3})p - (2-\sqrt{3})(\sqrt{3} - \frac{3+\sqrt{3}}{2}p) = 4\sqrt{3} - 1
(3+23)p−(23−3−6+23−33−32p)=43−1(3+2\sqrt{3})p - (2\sqrt{3}-3 - \frac{6+2\sqrt{3}-3\sqrt{3}-3}{2}p) = 4\sqrt{3} - 1
(3+23)p−(23−3−3−32p)=43−1(3+2\sqrt{3})p - (2\sqrt{3}-3 - \frac{3-\sqrt{3}}{2}p) = 4\sqrt{3} - 1
(3+23)p−23+3+3−32p=43−1(3+2\sqrt{3})p - 2\sqrt{3} + 3 + \frac{3-\sqrt{3}}{2}p = 4\sqrt{3} - 1
(3+23+32−32)p=43−1+23−3(3+2\sqrt{3}+\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})p = 4\sqrt{3}-1+2\sqrt{3}-3
(92+332)p=63−4(\frac{9}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2})p = 6\sqrt{3}-4
3(3+3)2p=2(33−2)\frac{3(3+\sqrt{3})}{2}p = 2(3\sqrt{3}-2)
p=4(33−2)3(3+3)=4(33−2)(3−3)3(9−3)=4(93−9−6+23)18=4(113−15)18=2(113−15)9p = \frac{4(3\sqrt{3}-2)}{3(3+\sqrt{3})} = \frac{4(3\sqrt{3}-2)(3-\sqrt{3})}{3(9-3)} = \frac{4(9\sqrt{3}-9-6+2\sqrt{3})}{18} = \frac{4(11\sqrt{3}-15)}{18} = \frac{2(11\sqrt{3}-15)}{9}
p=223−309p = \frac{22\sqrt{3} - 30}{9}
q=3−3+32p=3−3+32223−309=3−(3+3)(113−15)9=3−333−45+33−1539=3−183−129=3−23+43=−3+43=4−333q = \sqrt{3} - \frac{3+\sqrt{3}}{2}p = \sqrt{3} - \frac{3+\sqrt{3}}{2}\frac{22\sqrt{3} - 30}{9} = \sqrt{3} - \frac{(3+\sqrt{3})(11\sqrt{3} - 15)}{9} = \sqrt{3} - \frac{33\sqrt{3}-45+33-15\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3} - \frac{18\sqrt{3}-12}{9} = \sqrt{3} - 2\sqrt{3}+\frac{4}{3} = -\sqrt{3}+\frac{4}{3} = \frac{4-3\sqrt{3}}{3}

3. 最終的な答え

p=223−309p = \frac{22\sqrt{3} - 30}{9}
q=4−333q = \frac{4 - 3\sqrt{3}}{3}

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