放物線 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平行移動した曲線で、原点を通り、頂点が直線 $y = 2x - 1$ 上にある放物線の式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平行移動した曲線で、原点を通り、頂点が直線 $y = 2x - 1$ 上にある放物線の式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2x) + 1$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -(x - 1)^2 + 1 + 1$

$y = -(x - 1)^2 + 2$

この放物線の頂点は $(1, 2)$ です。

平行移動した放物線の式を $y = -(x - p)^2 + q$ とおきます。なぜなら、$x^2$の係数は平行移動によって変化しないからです。

この放物線が原点 $(0, 0)$ を通るので、

$0 = -(0 - p)^2 + q$

$0 = -p^2 + q$

$q = p^2$

よって、平行移動した放物線の式は $y = -(x - p)^2 + p^2$ となります。

頂点は $(p, p^2)$ です。

頂点 $(p, p^2)$ が直線 $y = 2x - 1$ 上にあるので、

$p^2 = 2p - 1$

$p^2 - 2p + 1 = 0$

$(p - 1)^2 = 0$

$p = 1$

よって、平行移動した放物線の式は $y = -(x - 1)^2 + 1^2$ です。

$y = -(x^2 - 2x + 1) + 1$

$y = -x^2 + 2x - 1 + 1$

$y = -x^2 + 2x$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 2x$