$\alpha$の動径が第1象限にあり、$\beta$の動径が第3象限にある。$\sin \alpha = \frac{3}{5}$、$\cos \beta = -\frac{12}{13}$のとき、$\sin(\alpha + \beta)$と$\cos(\alpha - \beta)$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\alpha$の動径が第1象限にあり、$\beta$の動径が第3象限にある。$\sin \alpha = \frac{3}{5}$、$\cos \beta = -\frac{12}{13}$のとき、$\sin(\alpha + \beta)$と$\cos(\alpha - \beta)$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$と$\sin \beta$を求める。

$\alpha$は第1象限にあるので、$\cos \alpha > 0$である。三角関数の相互関係$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\beta$は第3象限にあるので、$\sin \beta < 0$である。三角関数の相互関係$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (-\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$

$\sin \beta = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$

次に、$\sin(\alpha + \beta)$と$\cos(\alpha - \beta)$を加法定理を用いて計算する。

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{12}{13}) + \frac{4}{5} \cdot (-\frac{5}{13}) = -\frac{36}{65} - \frac{20}{65} = -\frac{56}{65}$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \frac{4}{5} \cdot (-\frac{12}{13}) + \frac{3}{5} \cdot (-\frac{5}{13}) = -\frac{48}{65} - \frac{15}{65} = -\frac{63}{65}$

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha + \beta) = -\frac{56}{65}$

$\cos(\alpha - \beta) = -\frac{63}{65}$