与えられた6つの集合 $W_1, W_2, W_3, W_4, W_5, W_6$ が、それぞれ $\mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを判定し、部分空間である場合はそれを示し、部分空間でない場合は具体例を挙げる。

1. 問題の内容

与えられた6つの集合 $W_1, W_2, W_3, W_4, W_5, W_6$ が、それぞれ $\mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを判定し、部分空間である場合はそれを示し、部分空間でない場合は具体例を挙げる。

2. 解き方の手順

部分空間であるための条件は、以下の3つを満たすことである。

(1) ゼロベクトルを含む。

(2) スカラー倍で閉じている。

(3) ベクトルの和で閉じている。

各集合について、上記の条件を満たすかどうかを調べ、部分空間であるか否かを判定する。

(1) $W_1 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y = 0\}$

ゼロベクトル $(0, 0, 0)$ は $0 + 0 = 0$ を満たすので、$W_1$ に含まれる。

$(x, y, z) \in W_1$ ならば $x + y = 0$。スカラー $c$ に対して、$(cx, cy, cz)$ を考えると、$cx + cy = c(x + y) = c \cdot 0 = 0$ なので、$c(x, y, z) = (cx, cy, cz) \in W_1$。

$(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2) \in W_1$ ならば $x_1 + y_1 = 0$ かつ $x_2 + y_2 = 0$。和 $(x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$ を考えると、$(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) = 0 + 0 = 0$ なので、$(x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) \in W_1$。

したがって、$W_1$ は部分空間である。

(2) $W_2 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - 2y + z = 0\}$

ゼロベクトル $(0, 0, 0)$ は $0 - 2(0) + 0 = 0$ を満たすので、$W_2$ に含まれる。

$(x, y, z) \in W_2$ ならば $x - 2y + z = 0$。スカラー $c$ に対して、$(cx, cy, cz)$ を考えると、$cx - 2(cy) + cz = c(x - 2y + z) = c \cdot 0 = 0$ なので、$c(x, y, z) = (cx, cy, cz) \in W_2$。

$(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2) \in W_2$ ならば $x_1 - 2y_1 + z_1 = 0$ かつ $x_2 - 2y_2 + z_2 = 0$。和 $(x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$ を考えると、$(x_1 + x_2) - 2(y_1 + y_2) + (z_1 + z_2) = (x_1 - 2y_1 + z_1) + (x_2 - 2y_2 + z_2) = 0 + 0 = 0$ なので、$(x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) \in W_2$。

したがって、$W_2$ は部分空間である。

(3) $W_3 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - 3y + 2z = 2\}$

ゼロベクトル $(0, 0, 0)$ は $0 - 3(0) + 2(0) = 0 \neq 2$ を満たさないので、$W_3$ に含まれない。したがって、$W_3$ は部分空間ではない。

(4) $W_4 = \{(0, 0, 2t) \in \mathbb{R}^3 \mid t \in \mathbb{R}\}$

ゼロベクトル $(0, 0, 0)$ は $t = 0$ のとき得られるので、$W_4$ に含まれる。

$(0, 0, 2t) \in W_4$ ならば、スカラー $c$ に対して、$(0, 0, c(2t)) = (0, 0, 2(ct))$。$ct$ も実数なので、$(0, 0, 2(ct)) \in W_4$。

$(0, 0, 2t_1), (0, 0, 2t_2) \in W_4$ ならば、和 $(0, 0, 2t_1 + 2t_2) = (0, 0, 2(t_1 + t_2))$。$t_1 + t_2$ も実数なので、$(0, 0, 2(t_1 + t_2)) \in W_4$。

したがって、$W_4$ は部分空間である。

(5) $W_5 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid y - z \geq 0\}$

ゼロベクトル $(0, 0, 0)$ は $0 - 0 = 0 \geq 0$ を満たすので、$W_5$ に含まれる。

$(1, 1, 0) \in W_5$ だが、$-1(1, 1, 0) = (-1, -1, 0)$ は $-1 - 0 = -1 \geq 0$ を満たさないので、$W_5$ に含まれない。したがって、$W_5$ は部分空間ではない。

(6) $W_6 = \{(2t, 0, 3t) \in \mathbb{R}^3 \mid t \in \mathbb{R}\}$

ゼロベクトル $(0, 0, 0)$ は $t = 0$ のとき得られるので、$W_6$ に含まれる。

$(2t, 0, 3t) \in W_6$ ならば、スカラー $c$ に対して、$c(2t, 0, 3t) = (2(ct), 0, 3(ct))$。$ct$ も実数なので、$(2(ct), 0, 3(ct)) \in W_6$。

$(2t_1, 0, 3t_1), (2t_2, 0, 3t_2) \in W_6$ ならば、和 $(2t_1 + 2t_2, 0, 3t_1 + 3t_2) = (2(t_1 + t_2), 0, 3(t_1 + t_2))$。$t_1 + t_2$ も実数なので、$(2(t_1 + t_2), 0, 3(t_1 + t_2)) \in W_6$。

したがって、$W_6$ は部分空間である。

3. 最終的な答え

部分空間であるものは、$W_1, W_2, W_4, W_6$ である。

部分空間でないものは、$W_3, W_5$ である。

$W_3$ は、ゼロベクトルを含まないため、部分空間ではない。

$W_5$ は、スカラー倍で閉じていないため、部分空間ではない（具体例：$(1, 1, 0) \in W_5$ だが、$-1(1, 1, 0) \notin W_5$）。