2つの不等式 $3|x| - |x-2| \le 8$ (これを不等式①とする) と $2x + 7 \ge 0$ (これを不等式②とする) について考える。絶対値を含む不等式①の解を求める問題。

1. 問題の内容

2つの不等式 $3|x| - |x-2| \le 8$ (これを不等式①とする) と $2x + 7 \ge 0$ (これを不等式②とする) について考える。絶対値を含む不等式①の解を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

- $x < 0$ のとき、$|x| = -x$ かつ $x-2 < 0$ なので $|x-2| = -(x-2) = 2 - x$ である。

したがって $3|x| - |x-2| = 3(-x) - (2-x) = -3x - 2 + x = -2x - 2$ となる。よってアイは -2、ウは2。

- $0 \le x < 2$ のとき、$|x| = x$ かつ $x-2 < 0$ なので $|x-2| = -(x-2) = 2 - x$ である。

したがって $3|x| - |x-2| = 3x - (2-x) = 3x - 2 + x = 4x - 2$ となる。よってエは4、オは2。

- $2 \le x$ のとき、$|x| = x$ かつ $x-2 \ge 0$ なので $|x-2| = x-2$ である。

したがって $3|x| - |x-2| = 3x - (x-2) = 3x - x + 2 = 2x + 2$ となる。よってカは2、キは2。

(2)

- $x < 0$ のとき、不等式①は $-2x - 2 \le 8$ となる。これを解くと $-2x \le 10$ より $x \ge -5$ である。

$x < 0$ と $x \ge -5$ の共通範囲は $-5 \le x < 0$ である。

- $0 \le x < 2$ のとき、不等式①は $4x - 2 \le 8$ となる。これを解くと $4x \le 10$ より $x \le \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$ である。

$0 \le x < 2$ と $x \le 2.5$ の共通範囲は $0 \le x < 2$ である。

- $2 \le x$ のとき、不等式①は $2x + 2 \le 8$ となる。これを解くと $2x \le 6$ より $x \le 3$ である。

$2 \le x$ と $x \le 3$ の共通範囲は $2 \le x \le 3$ である。

以上より、不等式①の解は $-5 \le x < 0$, $0 \le x < 2$, $2 \le x \le 3$ を合わせた範囲なので、$-5 \le x \le 3$ である。よって、クゲは -5、コは3。

(3)

不等式①の解は $-5 \le x \le 3$ である。

不等式②は $2x + 7 \ge 0$ より $2x \ge -7$ なので $x \ge -\frac{7}{2} = -3.5$ である。

不等式①と②をともに満たすxの範囲は $-3.5 \le x \le 3$ となる。

この範囲にある整数は、-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 の7個である。

よってサは7。

3. 最終的な答え

(1) アイ: -2, ウ: 2

エ: 4, オ: 2

カ: 2, キ: 2

(2) クゲ: -5, コ: 3

(3) サ: 7