多項式 $A = x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 19x^3 + 12x^2 - 3x$ が与えられている。 $t = x^3 - 3x^2 + 3x$ とおいたとき、 (1) $A$ を $t$ の式で表す。 (2) $A$ を因数分解する。 (3) $x=1$のときの $A$ の値、 $x=3$のときの $A$ の値を求める。 (4) $x = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ のときの $A$ の値を求める。

1. 問題の内容

多項式 $A = x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 19x^3 + 12x^2 - 3x$ が与えられている。

$t = x^3 - 3x^2 + 3x$ とおいたとき、

(1) $A$ を $t$ の式で表す。

(2) $A$ を因数分解する。

(3) $x=1$のときの $A$ の値、 $x=3$のときの $A$ の値を求める。

(4) $x = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ のときの $A$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A$ を $t$ の式で表す。

$A = x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 19x^3 + 12x^2 - 3x$

$A = (x^3 - 3x^2 + 3x)^2 - (x^3 - 3x^2 + 3x)x^3 - 10x^3 + 9x^2 - 3x$

ここで、$t = x^3 - 3x^2 + 3x$ なので、

$A = t^2 - t(x^3 - 3x^2 + 3x) = t^2 - x^3 + 3x^2 - 3x$

$A = t^2 - t$

したがって、$\boxed{\text{ア}} = 2$ となる。

(2) $A$ を因数分解する。

$A = t^2 - t = t(t-1)$

$A = (x^3 - 3x^2 + 3x)(x^3 - 3x^2 + 3x - 1)$

$A = x(x^2 - 3x + 3)(x^3 - 3x^2 + 3x - 1)$

$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3$ であるから、

$A = x(x^2 - 3x + 3)(x-1)^3$

したがって、$\boxed{\text{イ}} = 3$, $\boxed{\text{ウ}} = 3$, $\boxed{\text{エ}} = 1$ となる。

(3) $x=1$ のとき $A$ の値を求める。

$A = x(x^2 - 3x + 3)(x-1)^3$ に $x=1$ を代入すると、

$A = 1(1 - 3 + 3)(1-1)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$

したがって、$\boxed{\text{オ}} = 0$ となる。

$x=3$ のとき $A$ の値を求める。

$A = x(x^2 - 3x + 3)(x-1)^3$ に $x=3$ を代入すると、

$A = 3(3^2 - 3(3) + 3)(3-1)^3 = 3(9 - 9 + 3)(2)^3 = 3(3)(8) = 72$

したがって、$\boxed{\text{カキ}} = 72$ となる。

(4) $x = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ のとき $A$ の値を求める。

まず、$x = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2} + 1$

$t = x^3 - 3x^2 + 3x = x(x^2 - 3x + 3)$

$A = t(t-1)$ より、$t$を求める。

$x = \sqrt{2} + 1$ のとき、

$x^2 = (\sqrt{2}+1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

$x^3 = (\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} + 4 + 3 + 2\sqrt{2} = 7 + 5\sqrt{2}$

$t = 7 + 5\sqrt{2} - 3(3 + 2\sqrt{2}) + 3(\sqrt{2} + 1) = 7 + 5\sqrt{2} - 9 - 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 3 = 1 + 2\sqrt{2}$

$A = t(t-1) = (1 + 2\sqrt{2})(1 + 2\sqrt{2} - 1) = (1 + 2\sqrt{2})(2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} + 8 = 8 + 2\sqrt{2}$

したがって、$\boxed{\text{ク}} = 8$, $\boxed{\text{ケ}} = 2$ となる。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 3

ウ: 3

エ: 1

オ: 0

カキ: 72

ク: 8

ケ: 2