与えられた式 $ (1-x)S = 1 + 3(x + x^2 + ... + x^{n-1}) $ を変形して $ S $ を求める問題です。途中の計算過程と最終的な $ S $ の式が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた式 $(1-x)S = 1 + 3(x + x^2 + ... + x^{n-1})$ を変形して $S$ を求める問題です。途中の計算過程と最終的な $S$ の式が与えられています。

2. 解き方の手順

与えられた式から $S$ を求める手順は以下の通りです。

まず、$x + x^2 + ... + x^{n-1}$ は初項 $x$、公比 $x$、項数 $n-1$ の等比数列の和であるから、次のように計算できます。

$x + x^2 + ... + x^{n-1} = \frac{x(1-x^{n-1})}{1-x}$

したがって、

$(1-x)S = 1 + 3\frac{x(1-x^{n-1})}{1-x} - (3n-2)x^n$

$(1-x)S = \frac{(1-x) + 3x(1-x^{n-1}) - (3n-2)x^n(1-x)}{1-x}$

$(1-x)S = \frac{1-x + 3x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

$(1-x)S = \frac{1+2x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

$(1-x)S = \frac{1+2x - (3n-2+3)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

$(1-x)S = \frac{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

両辺を $(1-x)$ で割ると、

$S = \frac{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$