Z/4Z 上の演算 + を「和を 4 で割った余り」と定義するとき、以下の問いに答える。 (1) 単位元はどれか？ (2) 交換法則が成り立つか？

1. 問題の内容

Z/4Z 上の演算 + を「和を 4 で割った余り」と定義するとき、以下の問いに答える。

(1) 単位元はどれか？

(2) 交換法則が成り立つか？

2. 解き方の手順

(1) 単位元を求める。単位元 $e$ は、任意の元 $a$ に対して $a + e = e + a = a$ を満たす元である。与えられた演算表を見て、どの元を足しても元の数が変わらないか確認する。

演算表を見ると、

$0 + 0 = 0$, $1 + 0 = 1$, $2 + 0 = 2$, $3 + 0 = 3$

$0 + 1 = 1$, $0 + 2 = 2$, $0 + 3 = 3$

したがって、$0$ が単位元であることがわかる。

(2) 交換法則が成り立つか確認する。交換法則とは、任意の元 $a$ と $b$ に対して、$a + b = b + a$ が成り立つことである。演算表において、対角線に対して対称な位置にある要素が等しいかどうかをチェックすればよい。

演算表を見ると、

$0 + 1 = 1$ であり、$1 + 0 = 1$

$0 + 2 = 2$ であり、$2 + 0 = 2$

$0 + 3 = 3$ であり、$3 + 0 = 3$

$1 + 2 = 3$ であり、$2 + 1 = 3$

$1 + 3 = 0$ であり、$3 + 1 = 0$

$2 + 3 = 1$ であり、$3 + 2 = 1$

したがって、交換法則が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) 単位元は 0

(2) 交換法則は成り立つ