2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とします。 (1) $a, b$ の値を求めます。 (2) $a^2 + b^2$ と $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値を求めます。 (3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ を解き、さらに不等式 $k \le x \le k+3$ とともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$) とします。

(1) $a, b$ の値を求めます。

(2) $a^2 + b^2$ と $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値を求めます。

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ を解き、さらに不等式 $k \le x \le k+3$ とともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ を解の公式を用いて解きます。

解の公式は $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ です。この場合、$A = 1, B = -4, C = -2$ です。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

$a < b$ なので、$a = 2 - \sqrt{6}, b = 2 + \sqrt{6}$ です。

(2) $a^2 + b^2$ を計算します。

$a^2 + b^2 = (2 - \sqrt{6})^2 + (2 + \sqrt{6})^2 = (4 - 4\sqrt{6} + 6) + (4 + 4\sqrt{6} + 6) = 10 - 4\sqrt{6} + 10 + 4\sqrt{6} = 20$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$ です。

$ab = (2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6}) = 4 - 6 = -2$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{20}{-2} = -10$

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ を解きます。

$\frac{a}{b} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}} = \frac{(2 - \sqrt{6})^2}{(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6})} = \frac{4 - 4\sqrt{6} + 6}{4 - 6} = \frac{10 - 4\sqrt{6}}{-2} = -5 + 2\sqrt{6}$

$\frac{b}{a} = \frac{2 + \sqrt{6}}{2 - \sqrt{6}} = \frac{(2 + \sqrt{6})^2}{(2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6})} = \frac{4 + 4\sqrt{6} + 6}{4 - 6} = \frac{10 + 4\sqrt{6}}{-2} = -5 - 2\sqrt{6}$

$|x - (-5 + 2\sqrt{6})| \le |-5 - 2\sqrt{6}|$

$|x + 5 - 2\sqrt{6}| \le |-(5 + 2\sqrt{6})| = 5 + 2\sqrt{6}$

$-(5 + 2\sqrt{6}) \le x + 5 - 2\sqrt{6} \le 5 + 2\sqrt{6}$

$-(5 + 2\sqrt{6}) - 5 + 2\sqrt{6} \le x \le 5 + 2\sqrt{6} - 5 + 2\sqrt{6}$

$-10 \le x \le 4\sqrt{6}$

$4\sqrt{6} \approx 4 \times 2.449 = 9.796$

不等式 $k \le x \le k+3$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個となるような $k$ の範囲を考えます。

$-10 \le x \le 9.796$ と $k \le x \le k+3$ の共通範囲に整数が2個だけ含まれる必要があります。

$x$ は整数なので、$-10 \le x \le 9$ です。

$k \le x \le k+3$ の区間の長さは3なので、区間内に整数は3個または4個存在し得ます。

このうち、$k \le x \le k+3$ と $-10 \le x \le 9$ の共通範囲に整数が2個だけ存在するためには、

$k \le -10$ または $9 < k+3$ である必要があります。

$k \le 9$ かつ $k+3 \ge -10$ なので $-13 \le k \le 9$

$k \le -9$ のとき $k \le x \le k+3$ に整数が2つ含まれるためには $-9, -10$ が含まれる必要がある。

$k \le -10$ を満たす。$k+3 \ge -9$ を満たす。

$k = -11$ の場合 $-11 \le x \le -8$ なので $x = -10, -9, -8$ の3つの整数を含むため不適。

$9 < k+3$ すなわち $6 < k$ のとき

$k = 6$ では $6 \le x \le 9$ に整数 $6,7,8,9$ の4個が存在するため不適。

整数解が2つあるのは $k \leq -9$ かつ $7 \le k$ のどちらか。両立しない。

$k \le -11$ なら整数は$-10, -9$の2つ。

$k=-12$ でも$-12 \le x \le -9$で$-10,-9$の2つ。

$k=7$のとき、$7 \le x \le 10$で、$7,8,9$の3つになる。

$k = -11$ のとき $-11 \le x \le -8$, $x = -10, -9$ の2つ。$k = -11$

$k = -12$ のとき $-12 \le x \le -9$, $x = -10, -9$ の2つ。$k = -12$

$k=-10.9$ ならば$-10.9 \le x \le -7.9$ で整数は$-10,-9,-8$

整数$x$が2つということは、$k \le x \le k+3$ が含む整数$x$の個数が2つということです。

$k > 7$ の場合、整数$7,8$が存在するため、$k \le 7$ である必要がある。

$k \le x \le k+3$ かつ $-10 \le x \le 9$ の共通範囲に整数が2つだけ含まれる条件を考える。

もし $k \le -11$ であれば $k+3 \le -8$ であるため $x = -10, -9$ だけとなる。

$k \le -11$

$6 < k < 7$ はない。

$k>6$の時$7,8$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2 - \sqrt{6}$, $b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2 = 20$, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -10$

(3) $-11 \le k < -10$