与えられた条件 $f(-1) = 2$, $f'(0) = 3$, $f'(1) = 9$ を満たす2次関数 $f(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた条件 $f(-1) = 2$, $f'(0) = 3$, $f'(1) = 9$ を満たす2次関数 $f(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次関数 $f(x)$ を一般形 $f(x) = ax^2 + bx + c$ とおきます。

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 2ax + b$

与えられた条件 $f(-1) = 2$, $f'(0) = 3$, $f'(1) = 9$ をそれぞれ代入し、係数 $a, b, c$ に関する連立方程式を立て、解きます。

$f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c = 2$

$f'(0) = 2a(0) + b = b = 3$

$f'(1) = 2a(1) + b = 2a + b = 9$

$b = 3$ を $2a + b = 9$ に代入すると、

$2a + 3 = 9$

$2a = 6$

$a = 3$

$a = 3$ と $b = 3$ を $a - b + c = 2$ に代入すると、

$3 - 3 + c = 2$

$c = 2$

したがって、$a = 3$, $b = 3$, $c = 2$ となります。

これを $f(x) = ax^2 + bx + c$ に代入すると、

$f(x) = 3x^2 + 3x + 2$

3. 最終的な答え

$f(x) = 3x^2 + 3x + 2$