問題は2つあります。 (1) $(3 \star x) / (2 \star x) = 3$ となるとき、$x$ の値を求める問題。ここで、$a \star b$ は、 $a$ から始まる $b$ 個の連続する自然数の積を表します。 (2) $(y \star 2) + (y \star 2) / y$ が自然数の2乗になることを証明する問題。ここで、$y$ は自然数です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $(3 \star x) / (2 \star x) = 3$ となるとき、$x$ の値を求める問題。ここで、$a \star b$ は、 $a$ から始まる $b$ 個の連続する自然数の積を表します。

(2) $(y \star 2) + (y \star 2) / y$ が自然数の2乗になることを証明する問題。ここで、$y$ は自然数です。

2. 解き方の手順

(1) $(3 \star x) / (2 \star x) = 3$ の解き方:

$3 \star x$ は $3, 4, 5, \dots$ の $x$ 個の積であり、$2 \star x$ は $2, 3, 4, \dots$ の $x$ 個の積です。

$\frac{3 \star x}{2 \star x} = \frac{3 \times 4 \times 5 \times \dots \times (2+x)}{2 \times 3 \times 4 \times \dots \times (1+x)} = \frac{3 \times 4 \times \dots \times (2+x)}{2 \times 3 \times \dots \times (1+x)} = 3$

約分すると、分子には $2+x$ が残り、分母には $2$ が残ります。つまり、

$\frac{2+x}{2} = 3$

$2+x = 6$

$x = 4$

(2) $(y \star 2) + (y \star 2) / y$ が自然数の2乗になることの証明:

$y \star 2 = y(y+1)$ です。したがって、

$(y \star 2) + \frac{y \star 2}{y} = y(y+1) + \frac{y(y+1)}{y} = y(y+1) + (y+1) = (y+1)(y+1) = (y+1)^2$

$(y+1)^2$ は自然数の2乗なので、題意は示されました。

3. 最終的な答え

(1) $x=4$

(2) $(y \star 2) + (y \star 2) / y = (y+1)^2$ より、$(y \star 2) + (y \star 2) / y$ は自然数の2乗になる。