この問題は、連続する自然数の積を特定の記号で表す新しい演算「☆」を定義し、その演算に関する2つの問いに答えるものです。 (1) $\frac{(3 ☆ x)}{(2 ☆ x)} = 3$ を満たす $x$ の値を求めます。 (2) $(y ☆ 2)$ と $\frac{(y ☆ 2)}{y}$ の和が自然数の2乗になることを証明します。ただし、$y$ は自然数です。

1. 問題の内容

この問題は、連続する自然数の積を特定の記号で表す新しい演算「☆」を定義し、その演算に関する2つの問いに答えるものです。

(1) $\frac{(3 ☆ x)}{(2 ☆ x)} = 3$ を満たす $x$ の値を求めます。

(2) $(y ☆ 2)$ と $\frac{(y ☆ 2)}{y}$ の和が自然数の2乗になることを証明します。ただし、$y$ は自然数です。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{(3 ☆ x)}{(2 ☆ x)} = 3$ を満たす $x$ の値を求める。

$3 ☆ x$ は、3から始まる連続する $x$ 個の自然数の積なので、 $3 ☆ x = 3 \times 4 \times 5 \times \cdots \times (2+x)$と表せます。

同様に、$2 ☆ x$ は、2から始まる連続する $x$ 個の自然数の積なので、$2 ☆ x = 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times (1+x)$と表せます。

与えられた式に代入すると、$\frac{3 \times 4 \times 5 \times \cdots \times (2+x)}{2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times (1+x)} = 3$となります。

分子と分母で共通の項を約分すると、$\frac{2+x}{2} = 3$ となります。

両辺に2を掛けると、$2+x = 6$となり、$x = 4$と求まります。

(2) $(y ☆ 2)$ と $\frac{(y ☆ 2)}{y}$ の和が自然数の2乗になることを証明します。

$y ☆ 2$ は、$y$ から始まる連続する2つの自然数の積なので、$y ☆ 2 = y \times (y+1)$と表せます。

したがって、$\frac{(y ☆ 2)}{y} = \frac{y(y+1)}{y} = y+1$となります。

$(y ☆ 2) + \frac{(y ☆ 2)}{y} = y(y+1) + (y+1)$

$= y^2 + y + y + 1$

$= y^2 + 2y + 1$

$= (y+1)^2$

$y$ が自然数なので、$y+1$ も自然数であり、$(y+1)^2$は自然数の2乗になります。

したがって、$(y ☆ 2)$ と $\frac{(y ☆ 2)}{y}$ の和は自然数の2乗になることが証明されました。

3. 最終的な答え

(1) $x = 4$

(2) $(y ☆ 2) + \frac{(y ☆ 2)}{y} = (y+1)^2$ であり、$y$ が自然数なので $(y+1)$ も自然数となり、$(y+1)^2$は自然数の2乗である。したがって、$(y ☆ 2)$ と $\frac{(y ☆ 2)}{y}$ の和は自然数の2乗になる。