以下の4つの式を因数分解する問題です。 (1) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ (2) $2x^2 + 3xy - 2y^2 + x + 7y - 3$ (3) $yz^2 - y^2z + 2xyz - xy^2 + x^2y - x^2z - xz^2$ (4) $x^4 - 18x^2 + 1$

1. 問題の内容

以下の4つの式を因数分解する問題です。

(1) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$

(2) $2x^2 + 3xy - 2y^2 + x + 7y - 3$

(3) $yz^2 - y^2z + 2xyz - xy^2 + x^2y - x^2z - xz^2$

(4) $x^4 - 18x^2 + 1$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(x-1)(x-7)$と$(x-3)(x-5)$を計算します。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$

ここで、$A = x^2 - 8x$とおくと、

$(A+7)(A+15) + 15 = A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120 = (A+10)(A+12)$

$A$を元に戻すと、

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

(2)

$x$について整理します。

$2x^2 + (3y+1)x - 2y^2 + 7y - 3 = 2x^2 + (3y+1)x - (2y^2 - 7y + 3) = 2x^2 + (3y+1)x - (2y-1)(y-3)$

たすき掛けで因数分解することを考えます。

$(2x + a)(x + b) = 2x^2 + (a+2b)x + ab$

$ab = -(2y-1)(y-3)$となる$a, b$を見つけます。

$a = (2y-1)$, $b = -(y-3)$とすると、$a+2b = 2y-1 - 2(y-3) = 2y-1 -2y + 6 = 5$になりません。

$a = -(y-3)$, $b = (2y-1)$とすると、$a+2b = -y+3 + 2(2y-1) = -y+3+4y-2 = 3y+1$となります。

よって、$2x^2 + (3y+1)x - (2y-1)(y-3) = (2x - y + 3)(x + 2y - 1)$

(3)

すべての変数について2次式であるため、$x$について整理します。

$x^2(y-z) + x(2yz - y^2 - z^2) + yz(z-y) = x^2(y-z) - x(y-z)^2 - yz(y-z)$

$(y-z)$でくくります。

$(y-z)[x^2 - x(y-z) - yz] = (y-z)[x^2 - xy + xz - yz] = (y-z)[x(x-y) + z(x-y)] = (y-z)(x-y)(x+z) = -(x-y)(y-z)(z+x)$

(4)

$x^4 - 18x^2 + 1$を$A^2 - 2AB + B^2$の形にすることを考えます。

$x^4 + 2x^2 + 1 - 20x^2 = (x^2+1)^2 - (2\sqrt{5}x)^2$となり、うまくいきません。

$x^4 - 18x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 20x^2 = (x^2+1)^2 - 20x^2$

$x^4 - 18x^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 - 16x^2 = (x^2 - 1)^2 - (4x)^2 = (x^2 - 4x - 1)(x^2+4x-1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

(2) $(2x - y + 3)(x + 2y - 1)$

(3) $-(x-y)(y-z)(z+x)$

(4) $(x^2 - 4x - 1)(x^2 + 4x - 1)$