線形変換 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ が与えられており、$f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y+3z \\ x+3y+5z \\ 6x+4y+3z \end{pmatrix}$ で定義されている。 (1) この線形変換の未知数ベクトル $\mathbf{x} = {}^t(x, y, z)$ についての行列表現を求める。 (2) この変換が正則変換かどうか判定する。 (3) もし $f$ が正則変換ならば、逆変換 $f^{-1}$ を求める。

1. 問題の内容

線形変換 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ が与えられており、$f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y+3z \\ x+3y+5z \\ 6x+4y+3z \end{pmatrix}$ で定義されている。

(1) この線形変換の未知数ベクトル $\mathbf{x} = {}^t(x, y, z)$ についての行列表現を求める。

(2) この変換が正則変換かどうか判定する。

(3) もし $f$ が正則変換ならば、逆変換 $f^{-1}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列表現を求める。

与えられた線形変換を行列で表現すると、

$\begin{pmatrix} x+2y+3z \\ x+3y+5z \\ 6x+4y+3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 6 & 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

したがって、求める行列表現は $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 6 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ である。

(2) 正則変換かどうかの判定。

行列 $A$ の行列式を計算する。

$|A| = 1(3\cdot3 - 5\cdot4) - 2(1\cdot3 - 5\cdot6) + 3(1\cdot4 - 3\cdot6) = 1(9-20) - 2(3-30) + 3(4-18) = -11 - 2(-27) + 3(-14) = -11 + 54 - 42 = 1$

$|A| = 1 \neq 0$ であるから、$A$ は正則行列である。したがって、$f$ は正則変換である。

(3) 逆変換 $f^{-1}$ を求める。

$A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 6 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

拡大行列 $(A | E)$ を作る。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目を-1倍して2行目に足し、1行目を-6倍して3行目に足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -8 & -15 & -6 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を8倍して3行目に足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -14 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

3行目を-2倍して2行目に足し、3行目を-3倍して1行目に足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 43 & -24 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 27 & -15 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -14 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を-2倍して1行目に足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -11 & 6 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 27 & -15 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -14 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & 6 & 1 \\ 27 & -15 & -2 \\ -14 & 8 & 1 \end{pmatrix}$ である。

$f^{-1}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 6 & 1 \\ 27 & -15 & -2 \\ -14 & 8 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11x+6y+z \\ 27x-15y-2z \\ -14x+8y+z \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 行列表現: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 6 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

(2) 正則変換である。

(3) 逆変換: $f^{-1}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11x+6y+z \\ 27x-15y-2z \\ -14x+8y+z \end{pmatrix}$