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関数 $f(x) = \frac{x-1}{x}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ を求めよ。

代数学関数合成関数分数式
2025/6/26

1. 問題の内容

関数 f(x)=x−1xf(x) = \frac{x-1}{x} について、合成関数 (f∘f)(x)(f \circ f)(x) を求めよ。

2. 解き方の手順

合成関数 (f∘f)(x)(f \circ f)(x) は、f(f(x))f(f(x)) を意味します。
まず、f(x)f(x) を ff に代入して、f(f(x))f(f(x)) を計算します。
f(f(x))=f(x−1x)f(f(x)) = f\left(\frac{x-1}{x}\right)
次に、 f(x)=x−1xf(x) = \frac{x-1}{x} の xx に x−1x\frac{x-1}{x} を代入します。
f(x−1x)=x−1x−1x−1xf\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{\frac{x-1}{x} - 1}{\frac{x-1}{x}}
分子を整理します。
x−1x−1=x−1−xx=−1x\frac{x-1}{x} - 1 = \frac{x-1-x}{x} = \frac{-1}{x}
したがって、
f(f(x))=−1xx−1x=−1x⋅xx−1=−1x−1f(f(x)) = \frac{\frac{-1}{x}}{\frac{x-1}{x}} = \frac{-1}{x} \cdot \frac{x}{x-1} = \frac{-1}{x-1}

3. 最終的な答え

−1x−1\frac{-1}{x-1}

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