不等式 $\sqrt{2x+1} \le \frac{1}{2}x + 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{2x+1} \le \frac{1}{2}x + 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が0以上になる条件が必要です。

$2x+1 \ge 0$ より $x \ge -\frac{1}{2}$。

次に、両辺を2乗します。ただし、$\frac{1}{2}x + 1 \ge 0$ が必要です。これは $x \ge -2$ と同値です。$x \ge -\frac{1}{2}$ より、$x \ge -2$ の条件は満たされます。

$(\sqrt{2x+1})^2 \le (\frac{1}{2}x + 1)^2$

$2x+1 \le \frac{1}{4}x^2 + x + 1$

$0 \le \frac{1}{4}x^2 - x$

$0 \le \frac{1}{4}x(x-4)$

$0 \le x(x-4)$

この不等式を解くと、$x \le 0$ または $x \ge 4$。

ただし、最初に求めた条件 $x \ge -\frac{1}{2}$ を満たす必要があります。

したがって、 $-\frac{1}{2} \le x \le 0$ または $x \ge 4$。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} \le x \le 0$ または $x \ge 4$