関数 $f(x) = \frac{2x+a}{x+3}$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+a}{x+3}$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

逆関数は、もとの関数と合成すると恒等関数になるという性質を利用します。つまり、$f(f^{-1}(x)) = x$ が成り立ちます。

まず、$f(f^{-1}(x))$ を計算します。

$f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{3x+4}{bx+2}\right) = \frac{2\left(\frac{3x+4}{bx+2}\right) + a}{\left(\frac{3x+4}{bx+2}\right) + 3}$

この式を整理します。分子と分母にそれぞれ $(bx+2)$ をかけると、

$f(f^{-1}(x)) = \frac{2(3x+4) + a(bx+2)}{(3x+4) + 3(bx+2)} = \frac{6x+8 + abx+2a}{3x+4 + 3bx+6} = \frac{(6+ab)x + (8+2a)}{(3+3b)x + 10}$

これが $x$ に等しくなるので、

$\frac{(6+ab)x + (8+2a)}{(3+3b)x + 10} = x$

両辺に $(3+3b)x + 10$ をかけると、

$(6+ab)x + (8+2a) = x((3+3b)x + 10) = (3+3b)x^2 + 10x$

この式が恒等式になるためには、左辺と右辺の $x$ の係数、定数項、$x^2$の係数がそれぞれ等しくなければなりません。

$x^2$ の係数について: $3+3b = 0$ より $b=-1$

定数項について: $8+2a=0$ より $a=-4$

これらを $x$ の係数の式に代入して確認します:

$6+ab = 10$

$6 + (-4)(-1) = 6 + 4 = 10$

よって、$a=-4$、$b=-1$ が求める値です。

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = -1$