長方形があり、1時間ごとに縦と横の長さが伸びます。1時間ごとに伸びる縦と横の長さの比は1:5です。最初、縦は1cm、横は2cmです。x時間後の長方形の面積を $y$ cm$^2$ とするとき、$y$ を $x$ の式で表し、面積が110cm$^2$ になるのは何時間後か求めます。

1. 問題の内容

長方形があり、1時間ごとに縦と横の長さが伸びます。1時間ごとに伸びる縦と横の長さの比は1:5です。最初、縦は1cm、横は2cmです。x時間後の長方形の面積を $y$ cm$^2$ とするとき、$y$ を $x$ の式で表し、面積が110cm$^2$ になるのは何時間後か求めます。

2. 解き方の手順

まず、1時間あたりに伸びる縦の長さを求めます。1時間あたりに伸びる横の長さは5cmなので、縦の長さは1cm伸びます。

したがって、$x$ 時間後の縦の長さは $1 + x$ cm、横の長さは $2 + 5x$ cmとなります。

$x$ 時間後の面積 $y$ は、縦の長さと横の長さを掛け合わせたものなので、

$y = (1+x)(2+5x)$

$y = 2 + 5x + 2x + 5x^2$

$y = 5x^2 + 7x + 2$

次に、面積が110cm$^2$ になる時間を求めます。

$y = 110$ を代入して、$x$ についての方程式を解きます。

$110 = 5x^2 + 7x + 2$

$5x^2 + 7x + 2 - 110 = 0$

$5x^2 + 7x - 108 = 0$

この二次方程式を解くために、解の公式を使用します。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 5$, $b = 7$, $c = -108$ です。

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-108)}}{2 \cdot 5}$

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 2160}}{10}$

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{2209}}{10}$

$x = \frac{-7 \pm 47}{10}$

$x$ は正の値である必要があるため、プラスの符号のみを考慮します。

$x = \frac{-7 + 47}{10} = \frac{40}{10} = 4$

$x = \frac{-7 - 47}{10} = \frac{-54}{10} = -5.4$

したがって、面積が110cm$^2$になるのは4時間後です。

3. 最終的な答え

$y = 5x^2 + 7x + 2$

面積が110cm$^2$になるのは4時間後。