関数 $y = \frac{x-1}{x-2}$ の逆関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-1}{x-2}$ の逆関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = \frac{x-1}{x-2}$ の逆関数を求めるには、まず $x$ と $y$ を入れ替えて、その後 $y$ について解きます。

ステップ1: $x$ と $y$ を入れ替えます。

$x = \frac{y-1}{y-2}$

ステップ2: 上の式を $y$ について解きます。

まず、両辺に $(y-2)$ を掛けます。

$x(y-2) = y-1$

$xy - 2x = y - 1$

次に、$y$ を含む項を左辺に、それ以外の項を右辺に集めます。

$xy - y = 2x - 1$

左辺を $y$ でくくります。

$y(x-1) = 2x - 1$

最後に、$y$ について解きます。

$y = \frac{2x-1}{x-1}$

3. 最終的な答え

したがって、与えられた関数の逆関数は $y = \frac{2x-1}{x-1}$ です。