関数 $f(x) = \frac{bx-3}{x+a}$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(1) = 2$ と $f^{-1}(3) = 0$ のとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{bx-3}{x+a}$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(1) = 2$ と $f^{-1}(3) = 0$ のとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

逆関数の定義より、$f^{-1}(1) = 2$ は $f(2) = 1$ と同値であり、$f^{-1}(3) = 0$ は $f(0) = 3$ と同値である。

これらの条件を $f(x)$ に代入する。

まず、$f(2) = 1$ より、

$\frac{2b - 3}{2+a} = 1$

$2b - 3 = 2+a$

$2b = a + 5$

次に、$f(0) = 3$ より、

$\frac{b(0) - 3}{0 + a} = 3$

$\frac{-3}{a} = 3$

$-3 = 3a$

$a = -1$

$a=-1$ を $2b = a + 5$ に代入する。

$2b = -1 + 5$

$2b = 4$

$b = 2$

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 2$