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(1) $x + y = 5$、$xy = -10$のとき、$x^2 + y^2$、$x^3 + y^3$、$\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$の値を求める問題。 (2) $x = \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$、$y = \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$のとき、$x^2 + xy + y^2$、$x^3 + x^2y + xy^2 + y^3$の値を求める問題。

代数学式の計算展開因数分解平方根有理化
2025/6/26
はい、承知しました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

(1) x+y=5x + y = 5、xy=−10xy = -10のとき、x2+y2x^2 + y^2、x3+y3x^3 + y^3、xy+yx\frac{x}{y} + \frac{y}{x}の値を求める問題。
(2) x=46+2x = \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}、y=46−2y = \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}のとき、x2+xy+y2x^2 + xy + y^2、x3+x2y+xy2+y3x^3 + x^2y + xy^2 + y^3の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)
* x2+y2x^2 + y^2を求める。
(x+y)2=x2+2xy+y2(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2より、x2+y2=(x+y)2−2xyx^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy。
x+y=5x + y = 5、xy=−10xy = -10を代入して、x2+y2=52−2(−10)=25+20=45x^2 + y^2 = 5^2 - 2(-10) = 25 + 20 = 45。
* x3+y3x^3 + y^3を求める。
x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=(x+y)((x+y)2−3xy)x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x + y)((x + y)^2 - 3xy)。
x+y=5x + y = 5、xy=−10xy = -10を代入して、x3+y3=5(52−3(−10))=5(25+30)=5(55)=275x^3 + y^3 = 5(5^2 - 3(-10)) = 5(25 + 30) = 5(55) = 275。
* xy+yx\frac{x}{y} + \frac{y}{x}を求める。
xy+yx=x2+y2xy\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy}。
x2+y2=45x^2 + y^2 = 45、xy=−10xy = -10を代入して、xy+yx=45−10=−92\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{45}{-10} = -\frac{9}{2}。
(2)
* xx、yyを簡単にする。
x=46+2=4(6−2)(6+2)(6−2)=4(6−2)6−2=4(6−2)4=6−2x = \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \sqrt{6} - \sqrt{2}。
y=46−2=4(6+2)(6−2)(6+2)=4(6+2)6−2=4(6+2)4=6+2y = \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \sqrt{6} + \sqrt{2}。
* x+yx + y、xyxyを求める。
x+y=(6−2)+(6+2)=26x + y = (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{6}。
xy=(6−2)(6+2)=6−2=4xy = (\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 6 - 2 = 4。
* x2+xy+y2x^2 + xy + y^2を求める。
x2+xy+y2=(x+y)2−xy=(26)2−4=4(6)−4=24−4=20x^2 + xy + y^2 = (x + y)^2 - xy = (2\sqrt{6})^2 - 4 = 4(6) - 4 = 24 - 4 = 20。
* x3+x2y+xy2+y3x^3 + x^2y + xy^2 + y^3を求める。
x3+x2y+xy2+y3=x2(x+y)+y2(x+y)=(x2+y2)(x+y)=((x+y)2−2xy)(x+y)=((26)2−2(4))(26)=(24−8)(26)=16(26)=326x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = x^2(x + y) + y^2(x + y) = (x^2 + y^2)(x + y) = ((x + y)^2 - 2xy)(x + y) = ((2\sqrt{6})^2 - 2(4))(2\sqrt{6}) = (24 - 8)(2\sqrt{6}) = 16(2\sqrt{6}) = 32\sqrt{6}。

3. 最終的な答え

(1)
* x2+y2=45x^2 + y^2 = 45
* x3+y3=275x^3 + y^3 = 275
* xy+yx=−92\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = -\frac{9}{2}
(2)
* x2+xy+y2=20x^2 + xy + y^2 = 20
* x3+x2y+xy2+y3=326x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 32\sqrt{6}

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