2次方程式 $x^2 + ax + 1 = 0$ の解の個数を、判別式を用いて判別せよ。また、解が実数か虚数かを述べよ。ここで、$a$ は定数である。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + ax + 1 = 0$ の解の個数を、判別式を用いて判別せよ。また、解が実数か虚数かを述べよ。ここで、$a$ は定数である。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式 $x^2 + ax + 1 = 0$ の判別式 $D$ を計算する。2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式は $D = b^2 - 4ac$ で与えられる。この問題の場合、$a = 1$, $b = a$, $c = 1$ なので、判別式 $D$ は次のようになる。

$D = a^2 - 4(1)(1) = a^2 - 4$

判別式 $D$ の符号によって、解の個数と種類が決定される。

* $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

* $D = 0$ のとき、重解（1つの実数解）を持つ。

* $D < 0$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

したがって、$a^2 - 4$ の符号によって場合分けをする。

* $a^2 - 4 > 0$ のとき、$a^2 > 4$ なので、$a < -2$ または $a > 2$。このとき、異なる2つの実数解を持つ。

* $a^2 - 4 = 0$ のとき、$a^2 = 4$ なので、$a = -2$ または $a = 2$。このとき、重解（1つの実数解）を持つ。

* $a^2 - 4 < 0$ のとき、$a^2 < 4$ なので、$-2 < a < 2$。このとき、異なる2つの虚数解を持つ。

3. 最終的な答え

* $a < -2$ または $a > 2$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

* $a = -2$ または $a = 2$ のとき、重解（1つの実数解）を持つ。

* $-2 < a < 2$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。