3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 20 = 0$ が $x=1$ と $x=-4$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 20 = 0$ が $x=1$ と $x=-4$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x=1$ と $x=-4$ が解であることから、それぞれの方程式に代入します。

$1^3 + a(1)^2 + b(1) - 20 = 0$

$1 + a + b - 20 = 0$

$a + b = 19$ ...(1)

$(-4)^3 + a(-4)^2 + b(-4) - 20 = 0$

$-64 + 16a - 4b - 20 = 0$

$16a - 4b = 84$

$4a - b = 21$ ...(2)

(2) (1)と(2)の連立方程式を解きます。

(1) + (2) より、

$a + b + 4a - b = 19 + 21$

$5a = 40$

$a = 8$

(1)に代入して、

$8 + b = 19$

$b = 11$

したがって、$a=8, b=11$ である。

(3) 3次方程式は、$x^3 + 8x^2 + 11x - 20 = 0$ となります。

$x=1$ と $x=-4$ を解に持つので、$(x-1)(x+4)$ を因数に持つ。

$(x-1)(x+4) = x^2 + 3x - 4$ であるから、多項式を割り算します。

$x^3 + 8x^2 + 11x - 20 = (x^2 + 3x - 4)(x + 5)$

$= (x-1)(x+4)(x+5)$

よって、$x^3 + 8x^2 + 11x - 20 = (x-1)(x+4)(x+5) = 0$

解は $x=1, x=-4, x=-5$ となります。

他の解は $x=-5$ です。

3. 最終的な答え

$a=8$

$b=11$

他の解: $-5$