3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 20 = 0$ が $3-i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 20 = 0$ が $3-i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

複素数 $3-i$ が解であるとき、共役複素数 $3+i$ も解である。なぜなら、係数 $a, b$ が実数だからである。

よって、$x^3 + ax^2 + bx + 20 = 0$ は $(x-(3-i))(x-(3+i))$ で割り切れる。

$(x-(3-i))(x-(3+i)) = (x-3+i)(x-3-i) = (x-3)^2 - (i)^2 = x^2 - 6x + 9 - (-1) = x^2 - 6x + 10$

したがって、$x^3 + ax^2 + bx + 20$ は $x^2 - 6x + 10$ で割り切れる。

$x^3 + ax^2 + bx + 20 = (x^2 - 6x + 10)(x+c)$ となる実数 $c$ が存在する。

展開すると、

$x^3 + ax^2 + bx + 20 = x^3 + (c-6)x^2 + (10-6c)x + 10c$

係数を比較して、

$a = c - 6$

$b = 10 - 6c$

$20 = 10c$

$c = 2$

$a = 2 - 6 = -4$

$b = 10 - 6(2) = 10 - 12 = -2$

よって、$x^3 - 4x^2 - 2x + 20 = 0$ の解は $3-i$, $3+i$, $-2$ である。

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = -2$

他の解: $3+i, -2$