3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $-1$ と $5$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $-1$ と $5$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

$-1$ と $5$ が解であることから、これらを方程式に代入します。

$x = -1$ のとき、

$(-1)^3 - (-1)^2 + a(-1) + b = 0$

$-1 - 1 - a + b = 0$

$-a + b = 2$ ...(1)

$x = 5$ のとき、

$(5)^3 - (5)^2 + a(5) + b = 0$

$125 - 25 + 5a + b = 0$

$5a + b = -100$ ...(2)

(2) - (1) より、

$5a + b - (-a + b) = -100 - 2$

$6a = -102$

$a = -17$

(1) に $a = -17$ を代入すると、

$-(-17) + b = 2$

$17 + b = 2$

$b = -15$

したがって、方程式は $x^3 - x^2 - 17x - 15 = 0$ となります。

$x = -1$ と $x = 5$ が解なので、$(x+1)$ と $(x-5)$ を因数に持ちます。

$(x+1)(x-5) = x^2 - 4x - 5$ なので、$x^3 - x^2 - 17x - 15$ を $x^2 - 4x - 5$ で割ります。

$x^3 - x^2 - 17x - 15 = (x^2 - 4x - 5)(x + 3)$

よって、$x^3 - x^2 - 17x - 15 = (x+1)(x-5)(x+3) = 0$

他の解は $x = -3$

3. 最終的な答え

$a = -17$

$b = -15$

他の解: $-3$