3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 56 = 0$ が $x=2$ と $x=-4$ を解に持つとき、定数 $a$, $b$ の値と他の解を求めます。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 56 = 0$ が $x=2$ と $x=-4$ を解に持つとき、定数 $a$, $b$ の値と他の解を求めます。

2. 解き方の手順

$x=2$ と $x=-4$ が解であることから、それぞれ方程式に代入すると次の2つの式が得られます。

$2^3 + a(2^2) + b(2) + 56 = 0$

$(-4)^3 + a(-4)^2 + b(-4) + 56 = 0$

これらを整理すると、

$8 + 4a + 2b + 56 = 0$

$-64 + 16a - 4b + 56 = 0$

さらに整理すると、

$4a + 2b = -64$

$16a - 4b = 8$

最初の式を2で割ると、

$2a + b = -32$

次の式を4で割ると、

$4a - b = 2$

2つの式を足し合わせると、

$6a = -30$

$a = -5$

$a = -5$ を $2a + b = -32$ に代入すると、

$2(-5) + b = -32$

$-10 + b = -32$

$b = -22$

したがって、$a = -5$、$b = -22$ です。

3次方程式は $x^3 - 5x^2 - 22x + 56 = 0$ となります。$x=2$ と $x=-4$ を解に持つことから、$(x-2)(x+4) = x^2 + 2x - 8$ で割り切れるはずです。

実際に割り算をすると、

$x^3 - 5x^2 - 22x + 56 = (x^2 + 2x - 8)(x - 7)$

となります。

したがって、$(x-2)(x+4)(x-7)=0$ なので、他の解は $x=7$ です。

3. 最終的な答え

$a = -5$

$b = -22$

他の解: $7$