3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ が $x=1$ と $x=2$ を解に持つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求め、さらに他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ が $x=1$ と $x=2$ を解に持つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求め、さらに他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

$x=1$ と $x=2$ が解であるから、それぞれの方程式に代入する。

$x=1$ を代入すると、

$1^3 + a(1) + b = 0$

$1 + a + b = 0$

$a + b = -1$ ...(1)

$x=2$ を代入すると、

$2^3 + a(2) + b = 0$

$8 + 2a + b = 0$

$2a + b = -8$ ...(2)

(2) - (1) を計算する。

$(2a + b) - (a + b) = -8 - (-1)$

$2a + b - a - b = -8 + 1$

$a = -7$

(1) に $a = -7$ を代入する。

$-7 + b = -1$

$b = -1 + 7$

$b = 6$

したがって、3次方程式は

$x^3 - 7x + 6 = 0$ となる。

$x=1$ と $x=2$ を解に持つので、$x^3 - 7x + 6$ は $(x-1)(x-2)$ で割り切れる。

$(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$

筆算または組立除法により、$x^3 - 7x + 6$ を $x^2 - 3x + 2$ で割ると、$x+3$ となる。

よって、$x^3 - 7x + 6 = (x-1)(x-2)(x+3) = 0$

したがって、解は $x = 1, 2, -3$ となる。

他の解は $x=-3$ である。

3. 最終的な答え

$a = -7$

$b = 6$

他の解: $-3$