3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 14 = 0$ が $-1$ と $-2$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 14 = 0$ が $-1$ と $-2$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x=-1$ と $x=-2$ が解であることから、それぞれを方程式に代入して $a$ と $b$ に関する連立方程式を立てます。

$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) - 14 = 0$

$-1 + a - b - 14 = 0$

$a - b = 15$ (1)

$x = -2$ を代入すると、

$(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) - 14 = 0$

$-8 + 4a - 2b - 14 = 0$

$4a - 2b = 22$

$2a - b = 11$ (2)

(2) - (1) より、

$(2a - b) - (a - b) = 11 - 15$

$a = -4$

(1) に $a = -4$ を代入すると、

$-4 - b = 15$

$b = -19$

よって、$a = -4$, $b = -19$ であることがわかります。

このとき、方程式は $x^3 - 4x^2 - 19x - 14 = 0$ となります。

この方程式は $x = -1$ と $x = -2$ を解に持つので、$x+1$ と $x+2$ を因数に持ちます。したがって、$(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2$ で割り切れるはずです。

実際に $x^3 - 4x^2 - 19x - 14$ を $x^2 + 3x + 2$ で割ると、

$x^3 - 4x^2 - 19x - 14 = (x^2 + 3x + 2)(x - 7)$

となります。

したがって、$x^3 - 4x^2 - 19x - 14 = (x+1)(x+2)(x-7) = 0$

よって、解は $x = -1, -2, 7$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = -19$

他の解: $7$