数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および漸化式 $2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$ で定義されています。この数列の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および漸化式 $2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$ で定義されています。この数列の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式を変形します。

$2a_{n+1} = a_n - 2$

$a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n - 1$

この漸化式を解くために、$a_{n+1} - \alpha = \frac{1}{2} (a_n - \alpha)$ の形に変形できる定数 $\alpha$ を探します。

$a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n - \frac{1}{2} \alpha + \alpha$

$a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{2} \alpha$

元の漸化式と係数を比較すると、

$\frac{1}{2} \alpha = -1$

$\alpha = -2$

したがって、漸化式は次の形に変形できます。

$a_{n+1} + 2 = \frac{1}{2} (a_n + 2)$

$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_1 = a_1 + 2 = 1 + 2 = 3$ であり、漸化式は

$b_{n+1} = \frac{1}{2} b_n$

となります。これは初項 $b_1 = 3$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列なので、

$b_n = 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$

$a_n = b_n - 2$ より、

$a_n = 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} - 2$

3. 最終的な答え

$a_n = 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} - 2$