$x = \sqrt{5} + \sqrt{3}$、 $y = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ のとき、$x^2y + xy^2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{5} + \sqrt{3}$、 $y = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ のとき、$x^2y + xy^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x^2y + xy^2$ を因数分解します。

$x^2y + xy^2 = xy(x+y)$

次に、$x+y$ を計算します。

$x+y = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{5}$

次に、$xy$ を計算します。

$xy = (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$

これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形をしているので、

$xy = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

最後に、$xy(x+y)$ を計算します。

$xy(x+y) = 2 \times 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{5}$