図のような碁盤目状のマス目に、1から反時計回りに自然数を順に並べていく。 1の行の2番目は6, 3番目は19, 4番目は40となる。20番目の数値を求めよ。

1. 問題の内容

図のような碁盤目状のマス目に、1から反時計回りに自然数を順に並べていく。

1の行の2番目は6, 3番目は19, 4番目は40となる。20番目の数値を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、ある規則に従って数字が並んでいる碁盤目状のマス目において、20番目の数字を求めるものです。与えられた数字（1, 6, 19, 40）から規則を推測する必要があります。数字の差を計算することで規則性を見つけます。

$6 - 1 = 5$

$19 - 6 = 13$

$40 - 19 = 21$

差を見てみると、5, 13, 21 となっています。これらの差も計算してみましょう。

$13 - 5 = 8$

$21 - 13 = 8$

差が8で一定なので、これは等差数列であることがわかります。つまり、数字は2次関数的に増加します。

数列の一般項を $a_n$ とすると、$a_1 = 1$ であり、差の数列の一般項を $b_n$ とすると、$b_1 = 5$ であり、公差は8です。したがって、$b_n = 5 + (n-1)8 = 8n - 3$ です。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (8k - 3) = 1 + 8\sum_{k=1}^{n-1} k - 3\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} 1 = n-1$

$a_n = 1 + 8 \frac{(n-1)n}{2} - 3(n-1) = 1 + 4n(n-1) - 3n + 3 = 1 + 4n^2 - 4n - 3n + 3 = 4n^2 - 7n + 4$

したがって、$a_n = 4n^2 - 7n + 4$

20番目の数値を求めるので、$n=20$ を代入します。

$a_{20} = 4(20)^2 - 7(20) + 4 = 4(400) - 140 + 4 = 1600 - 140 + 4 = 1464$

3. 最終的な答え

1464