次の2次関数の最大値または最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めます。 (1) $y = 2(x-1)^2 + 3$ (2) $y = -(x+2)^2 + 5$ (3) $y = 3x^2 + 6x + 3$ (4) $y = -x^2 + 2x - 7$

1. 問題の内容

次の2次関数の最大値または最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めます。

(1) $y = 2(x-1)^2 + 3$

(2) $y = -(x+2)^2 + 5$

(3) $y = 3x^2 + 6x + 3$

(4) $y = -x^2 + 2x - 7$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2(x-1)^2 + 3$

この関数は平方完成された形なので、頂点の座標は $(1, 3)$ です。$x^2$ の係数が $2 > 0$ なので、下に凸のグラフであり、最小値を持ちます。

$x=1$ のとき、最小値 $y=3$ を取ります。

(2) $y = -(x+2)^2 + 5$

この関数も平方完成された形なので、頂点の座標は $(-2, 5)$ です。$x^2$ の係数が $-1 < 0$ なので、上に凸のグラフであり、最大値を持ちます。

$x=-2$ のとき、最大値 $y=5$ を取ります。

(3) $y = 3x^2 + 6x + 3$

この関数を平方完成します。

$y = 3(x^2 + 2x) + 3$

$y = 3(x^2 + 2x + 1 - 1) + 3$

$y = 3((x+1)^2 - 1) + 3$

$y = 3(x+1)^2 - 3 + 3$

$y = 3(x+1)^2$

この関数は平方完成された形なので、頂点の座標は $(-1, 0)$ です。$x^2$ の係数が $3 > 0$ なので、下に凸のグラフであり、最小値を持ちます。

$x=-1$ のとき、最小値 $y=0$ を取ります。

(4) $y = -x^2 + 2x - 7$

この関数を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2x) - 7$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) - 7$

$y = -((x-1)^2 - 1) - 7$

$y = -(x-1)^2 + 1 - 7$

$y = -(x-1)^2 - 6$

この関数は平方完成された形なので、頂点の座標は $(1, -6)$ です。$x^2$ の係数が $-1 < 0$ なので、上に凸のグラフであり、最大値を持ちます。

$x=1$ のとき、最大値 $y=-6$ を取ります。

3. 最終的な答え

(1) $x=1$ のとき、最小値 $3$

(2) $x=-2$ のとき、最大値 $5$

(3) $x=-1$ のとき、最小値 $0$

(4) $x=1$ のとき、最大値 $-6$