2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とします。このとき、$\alpha - 1$ と $\beta - 1$ を解にもつ2次方程式が $x^2 + bx + a = 0$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。
2025/6/25
1. 問題の内容
2次方程式 の2つの解を と とします。このとき、 と を解にもつ2次方程式が であるとき、定数 の値を求める問題です。
2. 解き方の手順
まず、 の解を とすると、解と係数の関係から
\begin{align*}
\alpha + \beta &= -a \\
\alpha \beta &= b
\end{align*}
が成り立ちます。
次に、 の解は であるから、解と係数の関係から
\begin{align*}
(\alpha - 1) + (\beta - 1) &= -b \\
(\alpha - 1)(\beta - 1) &= a
\end{align*}
が成り立ちます。
これらの式を整理すると、
\begin{align*}
\alpha + \beta - 2 &= -b \\
\alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1 &= a
\end{align*}
となります。
を代入すると
\begin{align*}
-a - 2 &= -b \\
b - (-a) + 1 &= a
\end{align*}
となります。
整理すると
\begin{align*}
-a - 2 &= -b \\
b + a + 1 &= a
\end{align*}
となり、
\begin{align*}
b &= a + 2 \\
b &= -1
\end{align*}
となります。
したがって、
より となります。