$x = \frac{1}{\sqrt{7}-1}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{7}+1}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求める。

代数学式の計算有理化平方根代入

2025/6/25

1. 問題の内容

x = \frac{1}{\sqrt{7}-1}

、

y = \frac{1}{\sqrt{7}+1}

のとき、

x^2 + y^2

の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、

x

と

y

の分母を有理化する。

x = \frac{1}{\sqrt{7}-1} = \frac{1}{\sqrt{7}-1} \cdot \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}+1} = \frac{\sqrt{7}+1}{7-1} = \frac{\sqrt{7}+1}{6}

y = \frac{1}{\sqrt{7}+1} = \frac{1}{\sqrt{7}+1} \cdot \frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{7}-1} = \frac{\sqrt{7}-1}{7-1} = \frac{\sqrt{7}-1}{6}

次に、

x^2

と

y^2

を計算する。

x^2 = \left( \frac{\sqrt{7}+1}{6} \right)^2 = \frac{(\sqrt{7}+1)^2}{36} = \frac{7 + 2\sqrt{7} + 1}{36} = \frac{8 + 2\sqrt{7}}{36} = \frac{4 + \sqrt{7}}{18}

y^2 = \left( \frac{\sqrt{7}-1}{6} \right)^2 = \frac{(\sqrt{7}-1)^2}{36} = \frac{7 - 2\sqrt{7} + 1}{36} = \frac{8 - 2\sqrt{7}}{36} = \frac{4 - \sqrt{7}}{18}

最後に、

x^2 + y^2

を計算する。

x^2 + y^2 = \frac{4 + \sqrt{7}}{18} + \frac{4 - \sqrt{7}}{18} = \frac{4 + \sqrt{7} + 4 - \sqrt{7}}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}

3. 最終的な答え

\frac{4}{9}

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