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2次方程式 $x^2 + 2x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$3\alpha$, $3\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

代数学二次方程式解と係数の関係方程式の解
2025/6/25

1. 問題の内容

2次方程式 x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0 の2つの解を α\alpha, β\beta とするとき、3α3\alpha, 3β3\beta を解とする x2x^2 の係数が1の2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、
α+β=−2\alpha + \beta = -2
αβ=5\alpha \beta = 5
求める2次方程式の2つの解が 3α,3β3\alpha, 3\beta なので、
(x−3α)(x−3β)=x2−(3α+3β)x+9αβ=x2−3(α+β)x+9αβ=0\begin{aligned} (x - 3\alpha)(x - 3\beta) &= x^2 - (3\alpha + 3\beta)x + 9\alpha \beta \\ &= x^2 - 3(\alpha + \beta)x + 9\alpha \beta \\ &= 0 \end{aligned}
α+β=−2\alpha + \beta = -2, αβ=5\alpha \beta = 5 を代入すると
x2−3(−2)x+9(5)=x2+6x+45=0\begin{aligned} x^2 - 3(-2)x + 9(5) &= x^2 + 6x + 45 = 0 \end{aligned}

3. 最終的な答え

x2+6x+45=0x^2 + 6x + 45 = 0

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