二次方程式 $4x^2 - 4x - 2 = 0$ の解が $x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$ であることを利用して、$4x^2 - 4x - 2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

二次方程式 $4x^2 - 4x - 2 = 0$ の解が $x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$ であることを利用して、$4x^2 - 4x - 2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解が $\alpha, \beta$ であるとき、$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できます。 今回は、$a = 4$, $\alpha = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$, $\beta = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ なので、

$4x^2 - 4x - 2 = 4\left(x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\right)\left(x - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right)$

となります。ここで、各項を整理します。

$x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} = \frac{2x - 1 - \sqrt{3}}{2}$

$x - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} = \frac{2x - 1 + \sqrt{3}}{2}$

したがって、

$4x^2 - 4x - 2 = 4 \cdot \frac{2x - 1 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2x - 1 + \sqrt{3}}{2}$

$= (2x - 1 - \sqrt{3})(2x - 1 + \sqrt{3})$

$= (2x - 1)^2 - (\sqrt{3})^2$

$= 4x^2 - 4x + 1 - 3$

$= 4x^2 - 4x - 2$

問題文にあるように因数分解すると、

$4\left(x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\right)\left(x - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) = (2x-1-\sqrt{3})(2x-1+\sqrt{3})$

3. 最終的な答え

$(2x-1-\sqrt{3})(2x-1+\sqrt{3})$