$\left(2x^2 - \frac{1}{3x}\right)^6$ の展開式における定数項を求めよ。定数項とは文字を含まない項のことである。

1. 問題の内容

$\left(2x^2 - \frac{1}{3x}\right)^6$ の展開式における定数項を求めよ。定数項とは文字を含まない項のことである。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開したときの一般項を考える。一般項は以下の式で表される。

$${}_6 C_r (2x^2)^{6-r} \left(-\frac{1}{3x}\right)^r$$

この一般項を整理すると

$${}_6 C_r (2)^{6-r} x^{2(6-r)} \left(-\frac{1}{3}\right)^r x^{-r} = {}_6 C_r (2)^{6-r} \left(-\frac{1}{3}\right)^r x^{12-2r-r} = {}_6 C_r (2)^{6-r} \left(-\frac{1}{3}\right)^r x^{12-3r}$$

定数項を求めるためには、$x$ の指数が $0$ である必要がある。したがって

$$12 - 3r = 0$$

$$3r = 12$$

$$r = 4$$

このとき、一般項は

$${}_6 C_4 (2)^{6-4} \left(-\frac{1}{3}\right)^4 = {}_6 C_4 (2)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{6!}{4!2!} \cdot 4 \cdot \frac{1}{81} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot \frac{4}{81} = 15 \cdot \frac{4}{81} = \frac{60}{81} = \frac{20}{27}$$

3. 最終的な答え

$\frac{20}{27}$