与えられた行列式 $a_n$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $a_2$, $a_3$, $a_4$ の値を求める。 (2) $a_n$ を $a_{n-1}$ と $a_{n-2}$ で表す。 (3) $a_n$ を $n$ で表す。

1. 問題の内容

与えられた行列式 $a_n$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $a_2$, $a_3$, $a_4$ の値を求める。

(2) $a_n$ を $a_{n-1}$ と $a_{n-2}$ で表す。

(3) $a_n$ を $n$ で表す。

2. 解き方の手順

(1) $a_2$, $a_3$, $a_4$ の値を求める。

$a_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \times 2 - 1 \times 1 = 4 - 1 = 3$

$a_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2(4-1) - 1(2-0) = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$

$a_4 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(4) - 1 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 8 - (4-1) = 8 - 3 = 5$

(2) $a_n$ を $a_{n-1}$ と $a_{n-2}$ で表す。

$a_n$ を第1行で展開すると、

$a_n = 2 a_{n-1} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 \end{vmatrix}$

この行列式は第1列で展開すると $a_{n-2}$ になる。

したがって、

$a_n = 2 a_{n-1} - a_{n-2}$

(3) $a_n$ を $n$ で表す。

$a_1 = 2$, $a_2 = 3$

$a_n = 2 a_{n-1} - a_{n-2}$

特性方程式は $x^2 - 2x + 1 = 0$, $(x-1)^2 = 0$ より $x = 1$ (重解)

したがって、$a_n = (An + B) \cdot 1^n = An + B$ と表せる。

$a_1 = A + B = 2$

$a_2 = 2A + B = 3$

この2つの式から、

$A = 1$, $B = 1$

$a_n = n + 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = 3$, $a_3 = 4$, $a_4 = 5$

(2) $a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}$

(3) $a_n = n + 1$