与えられた条件が、別の条件に対する必要条件、十分条件、またはその両方であるかを判断する問題です。 (1) $a > 0$ かつ $b > 0$ であることは、$a + b > 0$ かつ $ab > 0$ であるための（ア）。 (2) $xy(y-1) = 0$ であることは、$x = y(y-1) = 0$ であるための（イ）。 (3) $x^2y^2 + (y-1)^2 = 0$ であることは、$x = y(y-1) = 0$ であるための（ウ）。 選択肢： (0) 必要十分条件である (1) 必要条件ではあるが、十分条件ではない (2) 十分条件ではあるが、必要条件ではない (3) 必要条件でも十分条件でもない

1. 問題の内容

与えられた条件が、別の条件に対する必要条件、十分条件、またはその両方であるかを判断する問題です。

(1) $a > 0$ かつ $b > 0$ であることは、$a + b > 0$ かつ $ab > 0$ であるための（ア）。

(2) $xy(y-1) = 0$ であることは、$x = y(y-1) = 0$ であるための（イ）。

(3) $x^2y^2 + (y-1)^2 = 0$ であることは、$x = y(y-1) = 0$ であるための（ウ）。

選択肢：

(0) 必要十分条件である

(1) 必要条件ではあるが、十分条件ではない

(2) 十分条件ではあるが、必要条件ではない

(3) 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(ア)

$a > 0$ かつ $b > 0$ ならば、$a + b > 0$ かつ $ab > 0$ は明らかに成立します。

逆は、$a + b > 0$ かつ $ab > 0$ ならば、$a > 0$ かつ $b > 0$ が成立します。なぜなら、$ab > 0$ より、$a$と$b$は同符号で、$a+b>0$より、$a$と$b$は正の数でなければならないからです。

したがって、$a > 0$ かつ $b > 0$ であることは、$a + b > 0$ かつ $ab > 0$ であるための必要十分条件です。

(イ)

$xy(y-1) = 0$ のとき、$x = 0$ または $y = 0$ または $y = 1$ です。

$x = y(y-1) = 0$ のとき、$x = 0$ かつ $y(y-1) = 0$ なので、$x = 0$ かつ ($y = 0$ または $y = 1$) です。

$x = y(y-1) = 0$ ならば、$xy(y-1) = y(y-1)y(y-1) = y^2(y-1)^2 = 0$ なので、$xy(y-1) = 0$ が成立します。

逆に、$xy(y-1) = 0$ でも、$x = 1$ かつ $y = 0$ のとき、$xy(y-1) = 1 * 0 * (-1) = 0$ ですが、$x = y(y-1) = 0$ ではないので、十分条件ではありません。

したがって、$xy(y-1) = 0$ であることは、$x = y(y-1) = 0$ であるための必要条件ではあるが、十分条件ではありません。

(ウ)

$x^2y^2 + (y-1)^2 = 0$ ならば、$x^2y^2 \ge 0$ かつ $(y-1)^2 \ge 0$ であるので、$x^2y^2 = 0$ かつ $(y-1)^2 = 0$ でなければなりません。

$(y-1)^2 = 0$ より、$y = 1$ です。

$x^2y^2 = 0$ に $y = 1$ を代入すると、$x^2 = 0$ となり、$x = 0$ です。

したがって、$x = 0$ かつ $y = 1$ です。

$x = y(y-1) = 0$ ならば、$x = 0$ かつ $y(y-1) = 0$ なので、$x = 0$ かつ ($y = 0$ または $y = 1$) です。

$x^2y^2 + (y-1)^2 = 0$ ならば、$x = 0$ かつ $y = 1$ なので、$x = y(y-1) = 0$ は成立しません。 ($0 = 1*(1-1)=0$となり成り立つ。)

逆は、$x = y(y-1) = 0$ ならば、$x = 0$ かつ $y = 0$ または $y = 1$ です。

もし、$x=0$ かつ $y=0$ の場合、$x^2y^2 + (y-1)^2 = 0 + (0-1)^2 = 1 \ne 0$となり、$x^2y^2 + (y-1)^2 = 0$は成立しません。

もし、$x=0$ かつ $y=1$ の場合、$x^2y^2 + (y-1)^2 = 0 + (1-1)^2 = 0$となり、$x^2y^2 + (y-1)^2 = 0$は成立します。

したがって、$x^2y^2 + (y-1)^2 = 0$であることは、$x = y(y-1) = 0$であるための十分条件ではあるが、必要条件ではありません。

3. 最終的な答え

ア：0

イ：1

ウ：2