3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 24 = 0$ が $-2+2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 24 = 0$ が $-2+2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $-2 + 2i$ が解であることから、共役複素数 $-2 - 2i$ も解となります。したがって、３つの解のうち２つが判明しました。

3次方程式の解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \gamma = -a$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$

$\alpha\beta\gamma = -24$

ここで、$\alpha = -2 + 2i$, $\beta = -2 - 2i$ とします。すると、

$\alpha\beta = (-2+2i)(-2-2i) = (-2)^2 - (2i)^2 = 4 - (-4) = 8$

したがって、

$8\gamma = -24$

$\gamma = -3$

これで３つ目の解が求まりました。

$a$ と $b$ を求めます。

$\alpha + \beta + \gamma = (-2+2i) + (-2-2i) + (-3) = -2+2i-2-2i-3 = -7$

$-a = -7$ より $a=7$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 8 + (-2-2i)(-3) + (-2+2i)(-3) = 8 + 6 + 6i + 6 - 6i = 8 + 12 = 20$

したがって、$b = 20$

3. 最終的な答え

$a = 7$, $b = 20$, 他の解：$-3$