3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 54 = 0$ が $-2$ と $3$ を解にもつとき、定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 54 = 0$ が $-2$ と $3$ を解にもつとき、定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

$-2$ と $3$ が解であることから、以下の式が成り立ちます。

$(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) - 54 = 0$

$(3)^3 + a(3)^2 + b(3) - 54 = 0$

これらの式を整理すると、

$-8 + 4a - 2b - 54 = 0$

$27 + 9a + 3b - 54 = 0$

さらに整理すると、

$4a - 2b = 62$

$9a + 3b = 27$

これらの式を連立方程式として解きます。

最初の式を2で割り、次の式を3で割ると、

$2a - b = 31$

$3a + b = 9$

これらの式を足し合わせると、

$5a = 40$

$a = 8$

$a = 8$ を $3a + b = 9$ に代入すると、

$3(8) + b = 9$

$24 + b = 9$

$b = -15$

したがって、$a = 8$、$b = -15$ であることがわかりました。

元の3次方程式は、$x^3 + 8x^2 - 15x - 54 = 0$ となります。

この方程式は、$x=-2$ と $x=3$ を解に持つので、$(x+2)$ と $(x-3)$ を因数に持ちます。

$(x+2)(x-3) = x^2 - x - 6$ なので、$x^3 + 8x^2 - 15x - 54$ を $x^2 - x - 6$ で割ることで、残りの因数を求めることができます。

筆算を行うと、

$x^3 + 8x^2 - 15x - 54 = (x^2 - x - 6)(x+9)$

したがって、$x^3 + 8x^2 - 15x - 54 = (x+2)(x-3)(x+9) = 0$ となります。

これにより、3つの解は $x = -2, 3, -9$ であることがわかります。したがって、他の解は $-9$ です。

3. 最終的な答え

$a = 8$

$b = -15$

他の解: $-9$