与えられた2次関数を $y=a(x-p)^2+q$ の形に変形する問題です。具体的には、以下の4つの2次関数に対して平方完成を行います。 (1) $y=2x^2+4x+1$ (2) $y=3x^2-12x-2$ (3) $y=-x^2+10x+7$ (4) $y=-2x^2-6x-5$

1. 問題の内容

与えられた2次関数を $y=a(x-p)^2+q$ の形に変形する問題です。具体的には、以下の4つの2次関数に対して平方完成を行います。

(1) $y=2x^2+4x+1$

(2) $y=3x^2-12x-2$

(3) $y=-x^2+10x+7$

(4) $y=-2x^2-6x-5$

2. 解き方の手順

平方完成の手順は以下の通りです。

(1) $x^2$ の係数で $x^2$ と $x$ の項をくくります。

(2) 括弧の中を $(x+A)^2 - A^2$ の形に変形します。

(3) 括弧を展開し、定数項を整理します。

(1) $y=2x^2+4x+1$ の場合：

$y = 2(x^2+2x)+1$

$y = 2(x^2+2x+1-1)+1$

$y = 2((x+1)^2-1)+1$

$y = 2(x+1)^2 - 2 + 1$

$y = 2(x+1)^2 - 1$

(2) $y=3x^2-12x-2$ の場合：

$y = 3(x^2-4x)-2$

$y = 3(x^2-4x+4-4)-2$

$y = 3((x-2)^2-4)-2$

$y = 3(x-2)^2 - 12 - 2$

$y = 3(x-2)^2 - 14$

(3) $y=-x^2+10x+7$ の場合：

$y = -(x^2-10x)+7$

$y = -(x^2-10x+25-25)+7$

$y = -((x-5)^2-25)+7$

$y = -(x-5)^2 + 25 + 7$

$y = -(x-5)^2 + 32$

(4) $y=-2x^2-6x-5$ の場合：

$y = -2(x^2+3x)-5$

$y = -2(x^2+3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4})-5$

$y = -2((x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4})-5$

$y = -2(x+\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} - 5$

$y = -2(x+\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} - \frac{10}{2}$

$y = -2(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2(x+1)^2 - 1$

(2) $y = 3(x-2)^2 - 14$

(3) $y = -(x-5)^2 + 32$

(4) $y = -2(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{1}{2}$