数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式に従うとき、指示された置き換えを用いて一般項 $a_n$ を求める。今回は、 初期条件: $a_1 = 1$ 漸化式: $a_{n+1} + n + 1 = 3a_n + 3n$ 置き換え: $a_n + n = b_n$ である。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式に従うとき、指示された置き換えを用いて一般項 $a_n$ を求める。今回は、

初期条件: $a_1 = 1$

漸化式: $a_{n+1} + n + 1 = 3a_n + 3n$

置き換え: $a_n + n = b_n$

である。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $a_{n+1} + n + 1 = 3a_n + 3n$ に対して、$a_n + n = b_n$ という置き換えを適用し、$b_n$ に関する漸化式を導く。

まず、$a_n = b_n - n$ であるから、$a_{n+1} = b_{n+1} - (n+1)$ となる。これらを漸化式に代入すると、

$b_{n+1} - (n+1) + (n+1) = 3(b_n - n) + 3n$

$b_{n+1} = 3b_n - 3n + 3n$

$b_{n+1} = 3b_n$

これは等比数列の形である。初期条件 $a_1 = 1$ より、$b_1 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$ である。

したがって、$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}$ である。

$a_n = b_n - n$ なので、$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - n$ である。

3. 最終的な答え

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - n$