3次方程式 $x^3 + 8 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 8 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 + 8 = 0$ を因数分解します。

$x^3 + 8$ は $x^3 + 2^3$ と書き換えられます。これは和の3乗の公式を用いて因数分解できます。

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

これを用いると、

$x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

したがって、$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) = 0$ となります。

この式が0になるのは、$x + 2 = 0$ または $x^2 - 2x + 4 = 0$ のときです。

$x + 2 = 0$ より、

$x = -2$

次に、$x^2 - 2x + 4 = 0$ を解きます。これは二次方程式なので、解の公式を利用します。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = -2$, $c = 4$ なので、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2}$

$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{-3}}{2}$

$x = 1 \pm \sqrt{-3}$

$x = 1 \pm i\sqrt{3}$

したがって、3次方程式 $x^3 + 8 = 0$ の解は、$x = -2, 1 + i\sqrt{3}, 1 - i\sqrt{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$x = -2, 1 + i\sqrt{3}, 1 - i\sqrt{3}$