問題は、分数式$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}$ が、$\frac{1}{3}(\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1})$と等しいことを示す問題です。

1. 問題の内容

問題は、分数式$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}$ が、$\frac{1}{3}(\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1})$と等しいことを示す問題です。

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いて、$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}$を$\frac{A}{3k-2} + \frac{B}{3k+1}$の形に分解します。

$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{A}{3k-2} + \frac{B}{3k+1}$

両辺に$(3k-2)(3k+1)$をかけると、

$1 = A(3k+1) + B(3k-2)$

この式が任意の $k$ について成り立つように、$A$と$B$を決定します。

$k = \frac{2}{3}$のとき、$1 = A(3(\frac{2}{3}) + 1) + B(0) = A(2+1) = 3A$。よって、$A = \frac{1}{3}$。

$k = -\frac{1}{3}$のとき、$1 = A(0) + B(3(-\frac{1}{3}) - 2) = B(-1-2) = -3B$。よって、$B = -\frac{1}{3}$。

したがって、

$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1/3}{3k-2} - \frac{1/3}{3k+1} = \frac{1}{3}(\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1})$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1})$