与えられた二つの5x5行列Aに対して、それぞれの行列式$|A|$を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた二つの5x5行列Aに対して、それぞれの行列式$|A|$を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 行列$A$に対して、行列式を計算します。4行目に0が多いので、4行目に関して余因子展開をすると計算が楽になります。

(2) 行列$A$に対して、行列式を計算します。基本変形を繰り返して計算量を減らすことができます。

(1)

$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 & 5 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & -3 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 2 & -5 & 1 \end{pmatrix}$

第4行に関して余因子展開を行うと

$|A| = (-1)^{4+1} (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \\ 4 & -3 & -1 & 1 \\ 5 & 2 & -5 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{4+4} (1) \begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & -3 & 1 \\ 1 & 5 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \\ 4 & -3 & -1 & 1 \\ 5 & 2 & -5 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & -3 & 1 \\ 1 & 5 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

$|A| = 348 + (-120) = 228$

(2)

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 & 3 & 2 \\ -2 & -1 & 2 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & 7 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & 3 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

計算を簡略化するために行列を簡約化すると計算ミスを防げます。

$|A| = -120$

3. 最終的な答え

(1) $|A| = 228$

(2) $|A| = -120$